一、谁的数学成就最高

数学史向来有四大天王的之称，整个数学几千年的发展，都和他们有关。他们折磨了你的小学、中学还有大学。他们分别是“数学之神”阿基米德，“经典力学之父”牛顿，“数学英雄”欧拉，“数学王子”高斯。“数学之神”阿基米德在古希腊时期，数学就已经开始萌芽。诞生了一大批的数学家，在一开始，希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统（指连续不断的数集）的设想，以柏拉图为代表的数学家试图构建以数为基础的数学模型。然而，毕达哥拉斯学派却在这个时候发现了无理数，引发了2000多年的数学危机，为了回避无理数，古希腊数学家做了很多的努力，毕达哥拉斯学派欧多克索斯直接宣告了构建以数为基础的数学模型的破产，建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展．从此之后，几何学成了希腊数学的主流。而欧几里得更是提出了以几何为基础的主张中，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。拉斐尔重现古希腊数学与艺术的辉煌而欧多克索斯、欧几里得等人的工作不仅总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统（欧几里得-希尔伯特几何公理系统）。还编写出《几何原本》一书。这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物。在这个时候，阿基米德横空出世。阿基米德师从欧几里得。阿基米德进一步完善了几何体系，他发表了一系列的几何著作。比如《论球与圆柱》(On

the Sphere and Cylin der)，《论抛物线求积法》(On Quadrature of the

Parabola)，《圆的度量》(Measurement of a Circle)，《论平板的平衡》(On Plane

Equilibriums)，《论锥型体与球型体》(On Conoids Spheroids)，《砂粒计算》(The Sand

Reckoner)，《论方法》(On Method)(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理)，《论浮体》(On Floating

Bodies)，《引理》．在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究。但是阿基米德并没有抛弃柏拉图以数为基础的数学模型的构想，“数”的种子在他这里得到了保存，这点对未来很重要，因为西方在很长一段时间，都是将欧氏几何奉为圣经。他预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，阿基米德的求积法更是蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，阿基米德发现了许多定理。阿基米德还研究了螺线，撰写了《论螺线》(OnSpirals)一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米德对数学的全部贡献中最出色的部分．许多学者就是在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方法．值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线．这种螺线后来称为“阿基米德螺线”。基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，使证明的过程颇为复杂，但他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具体应用紧密结合起来。阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰，将希腊数学推向一个新阶段，。他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，为数学2000多年的发展奠定了坚实的基础。因而阿基米德被众多数学家称为“数学之神”。

“经典力学之父”牛顿牛顿在数学上最大的成就就是和莱布尼茨各自独立地创建了微积分。1665年 5月 20日,这是数学史极具意义的一天，伟大的物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微分法），而到了 1666年 5月又提出了“反流数术”(积分法),这标志着微积分的创立。牛顿提出微积分主要还是为了解决以下问题：1、已知物体运动的“距离——时间”函数关系求任意时刻的速度和加速度。“任一时刻”的时间间距是0，那么他的位移量也必然是0，这就出现了v=0/0的困难2、求曲线的切线3、求函数的最大、最小值4、求曲线的长、曲线围出的面积、曲面围出的体积、物体的重心问题。所以微积分主要存在这几个方面的内容，主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论；积分学包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。牛顿微积分手稿此后在欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动下，牛顿的微积分得到进一步完善。微积分的出现，极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。德雷克公式、散度定理、以及经典的斯托克斯公式。无论在观念上或者在技术层次上，他们都是牛顿-莱布尼茨公式的推广。冯·诺依曼曾经说过：微积分是现代数学的第一个成就，而且怎样评价它的重要性都不为过。我认为，微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端；而且，作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展。除此之外，微积分也促进了物理学的大发展大繁荣，物理问题的表达一般都是用微分方程的形式。也迎来了科学的大发展大繁荣时代，一直持续了整整

200多年，直到 20世纪上个月，这 200

多年里，涌现了无数著名的数学家、科学家。他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身又发展出了多元微分学、多重积分学、微分方程、无穷级数的理论、变分法，大大地扩展了数学研究的范围。比如最著名的要数最速降线问题。微积分还推动了工业革命的发展，促进了社会生产力的提高，实现了社会文明的大进步。“数学英雄”欧拉欧拉真的是天选之子，不仅具有过目不忘的本领，而且在眼瞎的情况下，仅仅依靠心算就解决了许多的问题。欧拉最大的贡献就是他发明了一系列对人类影响深远的符号，数学语言符号的使用可避免这种文字语言的歧义性,确保数学语言的准确性、清晰性,使它的语言形式完全符合形式所表示的实质内容。1748年欧拉出版了《无穷分析引论》，这是数学七大名著之一，和高斯的《算术研究》齐名。此书是在数学史上具有划时代意义的代表作，当时数学家们称欧拉为"分析学的化身”。为什么单独讲诉这本书，因为数学界未来几百年的发展，很大一部分都和这本书有关。欧拉的《无穷小分析引论》首次把对数作为指数、把三角函数作为数值之比而不是作为一些线段的系统论述，次用函数概念作为中心和主线，把函数而不是曲线作为主要研究对象，使无穷小分析不再依赖几何性质。在欧拉的《无穷小分析引论》中，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。对，这些符号都是欧拉发明的。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60;印度人阿耶波多(约476-550)定半径为3438;德国数学家里基奥蒙特纳斯(1436-1476)

为了精密地计算三角函数值曾定半径600, 000;后来为制订更精密的正弦表又定半径为10'。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究。在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达。欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。欧拉用a

、b、c表示三角形的三条边，用A、B、C表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式：欧拉后来又把三角函数与指数函联结起来。《无穷小分析引论》除了是三角学研究的开端，还对微积分进行了进一步的完善。简单来说，三角函数就是欧拉完善的，指数及指数函数人家也贡献了一份力。除此之外，圆周率的符号π、函数符号f(x)、虚数的符号 i、自然对数的底 e以及Σ等等都是他发明的。三角学、数学分析学、拓扑学、指数函数、微积分的完善发展、函数的完善发展、代数数论、解析数论、图论等等都有卓越的成绩，被誉为“全能数学家”。据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。可以说，从欧拉开始，在极大程度上摆脱了对几何直观的依赖,在逻辑上更为严瑾和便于分析。

数学开始逐渐摆脱对几何的依赖。欧拉冲破了古希腊人的思想框架，进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法解决，而欧拉对微积分的完善，实现了数学研究的基本方法由古希腊的几何演绎向以算术和代数的分析方法的转变。“数学王子”高斯高斯三岁的时候，当时高斯的父亲是一位工头，在核算工人们的周薪，高斯看了一眼账本，就已经能够帮父亲纠正账目的错误。在高斯18岁的时候，他就自己发现了质数分布定理和最小二乘法，根据这个发现，他自己创造了一套测量数据处理方法，根据这个新方法，他得到了一个具有概率性质的测量结果，并且把这个测量结果画成了曲线，这种曲线函数分布后来被后人称作为高斯分布图，也被叫做标准正态分布。高斯19岁的时候就发现了正十七边形的尺规作图法，解决了困扰数学界2000多年的难题。他也是世界上第一个成功用代数方法解决几何难题的数学家。他在19岁那年又证明了二次互反律，二次互反律在数论的发展史中处于中心地位。高斯不仅给出了第一个严格的证明，证明了二次互反律，而且后来又给出了7种证明方式。提出一种已经可以算得上是大数学家了，高斯提出了8种！高斯博士毕业的时候他还发现了著名的代数基本定理，他认为任何一元代数方程都有根，这篇论文一出举世震惊，后来高斯死后很多数学家都证明了代数基本定理的真实性，高斯也是世界上第一个发现这个定理的数学家。以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最，比如说高斯分布（正态分布），高斯模糊，高斯积分，高斯整数，高斯消元，高斯曲率，高斯滤波器，高斯引力常数。可以说大物里有高斯、高数里也有高斯、几何里也有高斯、….你闭上眼睛，在理工科(技术类)书籍里随便挑一本书。里面一定能找到Gaussian这么个名字…你随便拆一个app看代码。，一般一定有不止一个公式（或者包里的公式）和高斯有关。你好不容易学一个平面设计，平面设计里还有高斯模糊。。。可以说，高斯无处不在。高斯之墓这还是高斯并没有把自己所有研究成果全部发表出来的情况下，高斯是一个非常谨慎的人，估计是怕打脸，他对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。贝尔曾经这样评论高斯：在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世纪的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间。我们现在的数学都和这四位脱离不了关系，他们的许多伟大创新是许多数学分支领域的源泉。可以说，没有这四位伟大的数学家，那么就没有如今完备的数学体系。

二、数学难题

你怎么就不问哥德巴赫猜想的证明,悬赏100金币也可以阿!!!!

费马大定理

300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。

费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著名的定理—费马大定理。

费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。

费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn�只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。

解答数学“大问题”——证明费马大定理的故事

为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。

费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn+Yn=Zn,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个数学史上最深奥的谜。

大问题

在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。

安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答,怀尔斯被吸引住了。

这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coates)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。”科茨说：“我记得一位同事告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。”

科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。

孤独的战士

1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。

在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山-志村猜想”，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想……我十分清楚我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。

怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。

这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。

欢呼与等待

经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。

1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。”

《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著名的数学家，也是唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。

当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发现了。

我的心灵归于平静

由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定2-3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。

怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作。

泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”

这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，1996年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。

怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”

(据《科学时报》王丹红)

费尔玛大定理之考古---

遗失的数学古典民歌

--------费尔玛的奇妙证明

河南省济源市李晋阳

第一章一个定理两个谜

条条大路通罗马。但费尔玛大定理的求证却似乎并不是如此。它一路曲折、坎坷，时经近400年，令人咋舌。而在打通这条道路途中，那些披荆斩棘的数学勇士们，表现出多么非凡的聪明才智，派生出多少数学分支啊！由大定理而引发的探索热情带动了整个数学的发展，的确是绝无仅有的。

1621年，巴黎出版了刁番都（Diophante）所著的《算术》。费尔玛买了一本，他在毕达哥拉斯三角形问题的边页处做了注：x2+y2=z2有无穷多组整数解，而形如 xn+yn=zn当n>2时却永远没有正整数解。并且还写道：“我发现了这定理的一个真正奇妙的证明，但书上空白太少，写不下。”

后人把这个问题命名为“费尔玛大定理”。之所以称之谓定理，是因为一切迹象都表明它似乎的确是正确的；但是，既然要称之谓定理，就应当证明它是正确的。况且费尔玛又声称他有“真正奇妙的证明”。

数学史上有许多问题称之谓“猜想”，而这个未证明的问题，却被称之谓“大定理”。这可能与费尔玛说他自己“发现了这定理的一个真正奇妙的证明”不无关系。

这就成了数学史上的两个谜：一是费尔玛大定理是否正确；二是费尔玛的真正奇妙的证明是什么。

而且，两个谜的相互涵盖也是非常有意思的：费尔玛的真正奇妙的证明被找到，第一个谜就在其中；第一个谜被证明不正确，费尔玛的真正奇妙的证明就只能是笑谈。

但是，今天的我们没能看到相互涵盖的结果------第一个谜被揭开了，费尔玛大定理是正确的。因为证明方法是费尔玛当年不可能有的，所以这个结果恰不能涵盖第二个谜。

由于现在费尔玛大定理的间接解决方法的复杂、庞大，认为根本就不存在费尔玛真正奇妙证明的倾向占了上风。一个伟大的数论奠基人被指责为“恶作剧”，“在哄自己”。宽容点的也认为费尔玛的真正奇妙的证明就是有也是错误的。并且费尔玛的唯一错误 22n+1为质数也成了佐证-----毕竟他出过错，难道他不能出现第二次？

我们简单地来看一看1995年怀尔斯是怎样证明费尔玛大定理的：首先是1826年阿贝尔（Abel）建立了椭圆函数理论，1955年谷山---志村猜想有理数域的所有椭圆曲线能够对应模式统一；1984年弗赖提出：费尔玛大定理若有整数解，则能构造出相应的椭圆曲线方程。但它的模却非常奇特，很可能不能被统一；1986年里贝特证明了弗赖的论断。于是，谷山---志村猜想成了关键：证明了它就自动证明了费尔玛大定理。而谷山---志村猜想有关该序列

被怀尔斯证明是正确的，因而自动证明了费尔玛大定理是正确的-------注意，这可是间接的证明。

世界要求和谐、优美。

人们用了近400年的时间也没有找到费尔玛自己的证明，而得到的是运用现代方法的复杂的间接证明。那么，这种不和谐的造成就只能归罪于费尔玛------人们普遍认为他说的真

正奇妙的证明确实是不存在的。怀尔斯从10岁起就知道了费尔玛大定理，并发誓“我必须

解决它”，用初等数学方法求证也肯定是他少年时代就做过的。听听现在他的说法：“我不相信他有证明，我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。”并且称：“我认为不会有比我更简

单的证明了。也许我的证明可能再简化一些，但大定理的证明的基本思想和复杂程度是不会

变的”。更要注意的是怀尔斯的间接证明论文长达130多页，所运用的现代数学方法和其复杂程度的确是费尔玛当时不可能有的。更不要在费尔玛当年初等数学状态下侈谈什么“真正奇妙的证明”了。

我们看到的是：数学世界在这个问题上和谐的打破，优美的复杂。并且复杂的如此不可理喻。

看来，费尔玛当年未做出证明似乎已成定论，至少寻找它更加困难。其实，对历史之谜视而不见或者不去管它，也是一种方法。况且，数学之谜已经破解，又有谁还会去关心和寻找费尔玛自己的证明呢？

数学历史这样记叙着：数论方向从欧拉证明 x3+y3=z3起，直到采用库默尔理想数方法，证到n=269大定理正确。另一条方向起始似乎于数论无关，从1826年阿贝尔创建椭圆函数到模理论出现，引发谷山---志村猜想两者应能统一，最后是怀尔斯证明谷山---志村猜想有关序列，从而架通两者间桥梁的对大定理的间接证明。而这个证明是n>2时的全部情况。

惟独费尔玛自己的无穷下推法缺页。而费尔玛声称自己是用它完成了大定理的证明。遗憾的是，除了费尔玛自己，我们找不到任何采用此方法证明任何问题的例证。并且，费尔玛自己的运用被发现的也是极少的，含糊不清的。

如果存在费尔玛的“真正奇妙的证明”，今天具有中学生的数学知识就应该能读懂它，那将是多么令人惬意的事情啊！数学世界的和谐、优美将会因此体现的淋漓尽致！

但如果费尔玛的“真正奇妙的证明”在费尔玛的时代就已经被人们所知，我们将可能看不到后来数论中的许多发展，至少库默尔的“理想”不会出现。也不会激发怀尔斯在谷山---志村猜想搁置30年后重新研究并证明它，有理数域椭圆曲线和模式统一的桥梁就不会在今天就架通。

如果当年谷山---志村猜想被他们自己证明，间接证明费尔玛大定理的时间就会被锁定在1986年，由里贝特来完成。

然而历史只有一种--------现在的状况。

于是，世界的确是和谐的、优美的。她美的竟是如此多姿多彩。就连她造成的曲折、缺憾也体现出一种悲壮的美感。

于是，在怀尔斯的间接证明之后，寻找到直接的证明，寻找到费尔玛的“真正奇妙的证明”，将是数学世界和谐、优美的最灿烂的礼花！

大定理的数学之谜------怀尔斯的证明虽然是间接的，也使我们不再怀疑它的正确性。

大定理的历史之谜------如果费尔玛“真正奇妙的证明”不存在或是错误的，将是一种缺憾；如果找到了费尔玛“真正奇妙的证明”，那就既涵盖解决大定理的数学之谜，也充分说明------

世界的和谐、优美就在那里，只是人们看没看到她！

第二章费尔玛大定理之考古

希尔伯特把费尔玛大定理比喻成“一只会下金蛋的鸡”，并且自我解嘲地说：我会证明，但是我不想杀它。

的确，这只鸡为数学史贡献了不少的“金蛋”，现在被怀尔斯杀掉了。可是，它的被杀却是间接的------怀尔斯之刀并没有直接切割这只鸡，只是阻断了它的生存条件。它是被憋死的。

当然，把它形容成鸡指的是费尔玛大定理有整数解的那部分。只有这一部分的死亡，才使得 xn+yn=zn在 n>2时无整数解的大定理之锦鸡名正言顺地引吭高歌。

有关费尔玛大定理的第二个谜却更加凸现出来。在费尔玛大定理即使是间接被证明后，第二个谜更为突出地是它的历史性,逊色些它的数学性。但是，用初等数学方法证明费尔玛大定理的可能,的确仍然是十分诱人的。（读完该书附录后，人们得到-------费尔玛当年的确用初等数学方法证明了它，只是后人寻找的道路出现了偏差--------这样的结论，将是对本书的最高奖赏。）

我们一起掀开有关数学历史，进行一番大定理的探险、考古，尽量不放过任何蛛丝马迹，看一看尘封的古墓里到底埋藏着些什么。

当然得以费尔玛的《算术》批注作为主要线索：在x2+y2=z2的问题上，刁番都是怎样得到无数组整数解的呢？他首先令2ab为完全平方数，于是得到 x=a+√2ab y=b+√2ab z=a+b+√2ab。

常理来看，直观天才费尔玛肯定比较了二次方程x=a2-b2 y=2ab z=a2+b2的求解和刁番都解法的不同。略微变化刁番都解法就可以做到a、b连续地取任意正有理数，使得二次不定方程的组解信手拈来。并且，刁番都解法内含的增量概念正是n≥2时xn+yn=zn不定方程所共有的！当他能够得到n≥2时不定方程xn+yn=zn的共性表达式，并且这个共性表达式在n=2时取 a、b为任意正有理数代入，就得到无数组正确的整数解时，他就已经意识到这个共性表达式一定能证明 xn+yn=zn在n＞2时有没有正有理数解------注意，是有无正有理解，而不是有无正整数解！虽然前者包含后者。这一点费尔玛在证明过程中“略微变化刁番都解法”时就肯定已经明白了。我们只是不知道他为什么没有涂改边页注上的语言。也就是这种举手之劳而不作为使得后来很多人走错了方向。（这些我们将在附录的证明里看到。）并且，概念影响方法，在这里的确是个很好的例证。

另外，我们看到下一条更为清晰的线索：费尔玛在致Carcavi的一封信中说他用无穷下推法证明了n=4的情形（美 M•克莱因《古今数学思想》中文版第一册 p=323）.

既然费尔玛已经“发现了这定理的一个真正奇妙的证明”，那他为什么还要去证明n=4呢？按顺序他若没有“这定理的一个真正奇妙的证明”，他就应该先去证明n=3啊！并且，采用的方法是对n的降阶，只是无穷下推法的部分和特例，但却被后人误认为是无穷下推法的本质。（恰好网上一个自以为智者的就是这样认为的，他拆原方程为 x2x(n-2)+y2y(n-2)=z2z(n-2)然后说 x2+y2=z2有整数解因为z比x、y都大，等式两边不等从而大定理得证。那么，x+y=z也有整数解，z比x、y也都大，xx+yy=zz恰是 x2+y2=z2，也应该没有整数解了？！其实，这里隐藏着一个陷阱）。

有一个可能合理的解释：费尔玛“真正奇妙的证明”对于n为奇数的解答是极为清晰的！这恰是几百年来令数学家们最头疼的问题！费尔玛当然也就不再考虑n为被2整除后为奇因子的所有偶数。但是这个“真正奇妙的证明”处理n=4（从而含n=2r）在费尔玛看来是有缺陷的。（在附录结论里我们将看到，这个伟大的直观天才是多么地一丝不苟，虽然他的共性表达式实际上从另一方面同样能证明n=4的情形。）

如果费尔玛证明n=4的时间确实早于边页批注，那么，在证明n=4时，他还没有把不定方程的n一般化，也还不知道x2+y2=z2的刁番都解法，最主要的是那时他还没悟出n≥2时xn+yn=zn不定方程中存在的增量概念。

我们再来看一看费尔玛的无穷下推法：“为说明这个方法，我们来考察费尔玛1640年给友人信中提出的一个定理：形如4n+1的一个质数可能而且只能以一种方式表达为两个平方数之和，例如17=16+1 29=25+4。应用这一方法时，我们要证，若有形如4n+1的一个质数并不具有所需性质，那就将有形如4n+1的一个较小的质数也不具有那个性质。于是，还必需有一个更小的。这样往下推，就必定推到n=1，从而推到4×1+1=5，于是5就不能具有所需性质。而由于5能唯一方式表达为两个平方数之和，因而每个形如4n+1的质数都能这样表达。费尔玛说他用这方法证明了上述定理，但后人从未找到他的证明。他又说他用这个方法还证明了其他一些定理。”（美 M•克莱因《古今数学思想》中文版第一册 p=320~321）

实际上，费尔玛在数学史上堪称是一个伟大的思想家。他叙述的过程在他自己看来，是已完成的证明。在后人看来，他只是在讲路怎样去走，并没有走路；而在他自己看来，讲明路怎样去走时，就已经走完了这路。

我们又怎能苛求正在创造的人去完善这个创造呢？正因为费尔玛想做的太多，精雕细琢当然不会是他的风格。

费尔玛的确出过错。他觉得自己已经解决了那个老问题：列出一个对各种n值都能得出的质数公式。他用（2）2n+1表达一系列质数。但n=5被后来的欧拉证明是错误的，它的一个因子是641。--------但要注意到费尔玛当时“承认他不能证明这个断言，以后他又怀疑这个断言的正确性。”（美 M•克莱因《古今数学思想》中文版第一册 p=324）他唯一的错误却正是他自己也怀疑其正确性的。

费尔玛提出了数论方面的许多定理，他身后的最出色的数学家都努力去证明他提出的结论。除了上述的那个错误外，所有的结果都被证明是正确的，最后被证明的大定理虽然是间接证明，也是完全正确的。他是坐标几何两个发明者之一，也最先具有微积分的极小思想。并且开创了概率论的研究工作。但他的大多数工作是由信件形式留传于世的。有关数论方面的工作大部分都是记录在书页的空白处，他的儿子出版了附有他页边笔记的书才得见天日。而这本书就是刁番都（Diophante）所著的《算术》。

上溯到Euclid的《原本》，古希腊人就已经用不可公度比表示和证明无理数了。如√2

为无理数的证明：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比a：b，并设该比已表达为最小整数之比（今天的说法是互素），根据毕达哥拉斯定理得 a2=2b2。由于a为偶数，b必然为奇数（a、b互素）。于是a2=4c2=2b2,因此 b2=2 c2，b2是偶数，于是b也是偶数。但b同时又是奇数，产生矛盾。今天我们对√2为无理数的证明仍然如此。如果我们对费尔玛大定理在设其存在正有理数解，得到的是（2k）n=.(2r+1)，并且k与x, y, z相关时，大定理的正确性还能怀疑吗？

回过头来再看大定理的不定方程：xn+yn=zn含盖的面竟如此宽广：

在n＞2时，无正整数解------费尔玛大定理；

n=2时，有无数组整数解-------毕达哥拉斯定理；

n=1时，x+y=z x、y同为质数永远存在-------歌德巴赫猜想------这可是在大定理提出100年后的论断。

从n=2得以解决，跨时2000年，n=1仍然是谜！数学的魅力就在于：答案放在那里，就看寻找者的方法和途径是否正确.

我们是否应该反思，在我们认为和埋怨已知的太少的同时，获取的道路上遗失了什么？有没有非常有价值的巨大钻石被我们当作普通石头而丢弃？如果有，费尔玛的无穷下推法很可能首当其冲。后人对它的研究几乎是零。费尔玛被冠以“业余数学家”的现象，

三、圣安德鲁大学的知名校友

威廉王子（剑桥公爵）（王储英国王位继承人第二顺位）

詹姆斯二世（苏格兰）

詹姆斯·奥格尔（亚历山德拉公主之子）

阿勒纳哈扬家族（阿联酋最大酋长国阿布扎比的世袭统治者）

凯特·米德尔顿（威廉王子的妻子，官方称号“王室剑桥公爵夫人殿下，凯瑟琳”）约翰·坎贝尔英国政治家，第四任加拿大总督。

约翰·汉密尔顿-戈登苏格兰政治家，第七任加拿大总督。

莱昂·普莱费尔男爵英国科学家、政治家

亚历克斯·萨尔蒙德前苏格兰首席部长

凯文·杜涅恩第一位苏格兰政府信息专员

约翰·诺克斯苏格兰牧师，宗教改革领导人。

让-保尔·马拉法国大革命时期活动家和政论家

约翰·威瑟斯彭苏格兰裔美国人，独立宣言的签署人，美国开国元勋。

詹姆斯·威尔逊苏格兰裔美国人，独立宣言的签署人，美国开国元勋。 B.C.福布斯财经杂志《福布斯》创始人

乔里恩·康奈尔英国《The Week》杂志创始人

克雷格·奥利弗资深传媒者，英国首相卡梅隆之通信主任

路易丝·明钦、布莱恩·泰勒英国BBC知名记者约翰·纳皮尔苏格兰数学家，对数发明人，小数点使用的推广者

弗朗西斯·罗伯特·贾普化学家，雅普－克林格曼反应的发现人

迈克尔·贝尔顿天文学家，2002年美国NASA行星调查首席负责人

迈克尔·贝瑞数理物理学家，berry相的发现人

加文·布朗数学家，悉尼大学和阿德莱德大学校长

休·克莱格霍恩印度科学林业之父

安格斯·富尔顿土木工程师学会会长

詹姆斯·欧文有机化学家，分离出甲基化糖，三和四甲基葡萄糖的第一人

约翰·莱斯利物理学家第一位以现代观点描述了毛细作用及人工制冰

威廉 M'Intosh 1924年林奈奖章获得者

威廉·里士满生物化学家，测试血液中胆固醇水平的里士满测试发现人

亚当·弗格森哲学家，现代社会学之父

约翰·克雷格古典主义学家，第一位教授拉丁学的学者

约翰·艾当达恩利勋爵亨利·斯图亚特的导师

诺曼·肯普·史密斯普林斯顿大学和爱丁堡大学教授

爱德华·詹纳免疫学之父

罗素·柯克美国政治理论家，现代保守主义的奠基人之一

安德鲁·贝尔英国圣公会牧师，马德拉斯大学创建者

沃尔特·佩里药理学家，医师，英国公开大学校长

埃里克·安德森教育家，伊顿公学教务长

约翰·亚当森爱丁堡大学校长

里欧纳德·赫胥黎作家和编辑，英国著名博物学家托马斯·亨利·赫胥黎之子

斯图尔特公爵医学家，英国国王爱德华八世，乔治六世和女王伊丽莎白二世的御用医生詹姆士·W·布拉克爵士苏格兰药理学家，1988年诺贝尔医学奖获得者。

沃尔特·霍沃思爵士英国化学家，1937年诺贝尔化学奖获得者。

艾伦·麦克德尔米德爵士美国和新西兰化学家，2000年诺贝尔化学奖获得者。

鲁德亚德·吉卜林英国作家及诗人，1907年诺贝尔文学奖获得者。

弗里乔夫·南森挪威探险家、科学家和外交家，1922年诺贝尔和平奖获得者。